Kostentragung und Kostenerstattungspflicht richten sich im Zivilrecht gundsätzlich nach den §§ 91 ZPO.
§ 12 ArbGG enthält jedoch einige Sonderregelungen, die man als Arbeitnehmer wissen sollte:

§ 12a ArbGG Kostentragungspflicht

Absatz 1:
In Urteilsverfahren des ersten Rechtszugs besteht kein Anspruch der obsiegenden Partei auf Entschädigung wegen Zeitversäumnis und auf Erstattung der Kosten für die Zuziehung eines Prozeßbevollmächtigten oder Beistandes.

Vor Abschluß der Vereinbarung über die Vertretung ist auf den Ausschluß der Kostenerstattung nach Satz 1 hinzuweisen.

Satz 1 gilt nicht für Kosten, die dem Beklagten dadurch entstanden sind, daß der Kläger ein Gericht der ordentlichen Gerichtsbarkeit, der allgemeinen Verwaltungsgerichtsbarkeit, der Finanz- oder Sozialgerichtsbarkeit angerufen und dieses den Rechtsstreit an das Arbeitsgericht verwiesen hat.

Absatz 2:
Werden im Urteilsverfahren des zweiten Rechtszugs die Kosten nach § 92 Abs. 1 ZPO verhältnismäßig geteilt und ist die eine Partei durch einen Rechtsanwalt, die andere Partei durch einen Verbandsvertreter nach  § 11 Abs. 2 Satz 2 Nr. 4 und 5 vertreten, so ist diese Partei hinsichtlich der außergerichtlichen Kosten so zu stellen, als wenn sie durch einen Rechtsanwalt vertreten worden wäre. Ansprüche auf Erstattung stehen ihr jedoch nur insoweit zu, als ihr Kosten im Einzelfall tatsächlich erwachsen sind.

Diese Regelung gilt für alle Verfahren des § 2 ArbGG – Urteilsverfahren, Mahnverfahren, Verfahren des einstweilgien Rechtsschutzes. Somit grundsätzlich auch der Anspruch für das außergerichtliche Verfahren. Es gelten nur wenige Ausnahmen, wie z. B. § 126 InsO und Zwangsvollsteckung.